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¿Cómo hallar la altura de un triángulo? Fórmulas, ejercicios y ejemplos

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como hallar la altura de un triangulo

¡Bienvenidos al fascinante mundo de la geometría, donde las líneas y formas se entrelazan en un baile de proporciones y ángulos! En este viaje matemático, exploraremos un concepto fundamental: cómo hallar la altura de un triángulo.

Puede parecer un detalle insignificante, pero dominar esta habilidad abre puertas a la solución de enigmas geométricos y aplicaciones prácticas en la vida cotidiana. Así que, prepárate para descubrir cómo una simple línea perpendicular puede iluminar un universo de posibilidades matemáticas.

Conceptos básicos a saber antes de hallar la altura de un triángulo

 

Adentrémonos en los fundamentos de la geometría, donde los triángulos son las estrellas de nuestro espectáculo. Antes de sumergirnos en el misterio de hallar su altura, debemos comprender los conceptos básicos que los definen.

Los triángulos, esos polígonos de tres lados, son como las piezas fundamentales de un rompecabezas matemático. Hay varios tipos, cada uno con su propia personalidad. Están los equiláteros, que son tan simétricos que parecen tallados por un artista meticuloso. Los isósceles, que tienen dos lados iguales que les dan un aire de elegancia. Y, por último, los escalenos, donde todos los lados son diferentes, lo que los hace únicos y, a veces, un poco traviesos.

Pero, aquí viene la parte intrigante: la altura de un triángulo. Imagina una cuerda que se extiende desde la cima de la montaña hasta la base, justo en un ángulo de 90 grados. Esa línea mágica es la altura. Es como si el triángulo se inclinara para presentarnos su secreto mejor guardado. ¿Por qué es importante? Bueno, eso lo descubrirás en las secciones siguientes, donde exploraremos cómo desvelar esta altura en diferentes tipos de triángulos.

¿Cómo hallar la altura de un triángulo?

 

como hallar la altura de un triangulo equilatero, isosceles, con lados difenretes

 

Encontrar la altura de un triángulo es un concepto fundamental en geometría y matemáticas que nos permite comprender la relación entre las dimensiones de esta figura geométrica. La altura de un triángulo se refiere a la longitud de una línea perpendicular que se extiende desde un vértice hasta el lado opuesto. Hallar esta altura puede ser esencial en una variedad de situaciones, desde cálculos geométricos hasta aplicaciones prácticas en la vida cotidiana.

Ejemplo 1

Supongamos que tenemos un triángulo con un lado de 6 cm y la base de 8 cm. Queremos encontrar la altura de este triángulo.

  1. Dibuja el triángulo: Dibuja el triángulo y marca la longitud de la base (8 cm) y un lado (6 cm).
  2. Dibuja la altura: Dibuja una línea perpendicular desde el vértice opuesto a la base hasta la base misma. Esta línea perpendicular es la altura del triángulo y la denotaremos como «h».
  3. Utiliza la fórmula del área: Utiliza la fórmula del área de un triángulo, que es:

    Área = (1/2) * base * altura

  4. Sustituye los valores conocidos: Ahora que tenemos la base (8 cm) y queremos encontrar la altura «h», podemos resolver la fórmula para la altura:

    Área = (1/2) * 8 cm * h

  5. Conoce el área: Supongamos que conocemos el área del triángulo (por ejemplo, 24 cm²), entonces podemos resolver para la altura:

    24 cm² = (1/2) * 8 cm * h

  6. Resuelve para la altura «h»:

    h = (2 * 24 cm²) / (8 cm) h = 48 cm² / 8 cm h = 6 cm

La altura de este triángulo es de 6 cm.

Ejemplo 2

Hallar la altura de un triángulo con la longitud de dos lados y el ángulo entre ellos conocidos:

Supongamos que tenemos un triángulo con dos lados conocidos de 5 cm y 7 cm, y el ángulo entre ellos es de 60 grados. Queremos encontrar la altura de este triángulo.

  1. Dibuja el triángulo: Dibuja el triángulo y marca las longitudes de los lados (5 cm y 7 cm) y el ángulo entre ellos (60 grados).
  2. Dibuja la altura: Dibuja una línea perpendicular desde uno de los vértices de los lados conocidos hasta el lado opuesto. Esta línea perpendicular es la altura del triángulo y la denotaremos como «h».
  3. Utiliza la trigonometría: Utiliza la trigonometría para encontrar la altura. Como tenemos el ángulo (60 grados) y dos lados (5 cm y 7 cm), podemos usar la función seno:

    sen(60°) = altura / 7 cm

  4. Resuelve para la altura «h»:

    altura = sen(60°) * 7 cm altura = (√3/2) * 7 cm altura ≈ 6.06 cm

La altura de este triángulo es aproximadamente 6.06 cm.

Para calcular la altura de otros tipos de triángulos, aquí tienes dos enfoques, dependiendo del tipo de triángulo:

Hallar la altura de Triángulos Rectángulos

 

  1. Utilizando el Teorema de Pitágoras: Si tienes un triángulo rectángulo, que tiene un ángulo de 90 grados, puedes usar el famoso Teorema de Pitágoras. Supongamos que tienes un triángulo con un cateto (uno de los lados que forma el ángulo recto) de longitud ‘a’ y el otro cateto de longitud ‘b’. Además, supongamos que quieres encontrar la altura que forma un cateto ‘a’. Puedes usar la siguiente fórmula:

    Altura = (a * b) / c

    Donde ‘c’ es la hipotenusa del triángulo y se calcula como la raíz cuadrada de (a^2 + b^2).

Ejemplos prácticos de cómo hallar la altura de Triángulos Rectángulos

 

Ejemplo 1: Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo con un cateto de longitud 6 cm y el otro cateto de longitud 8 cm. Queremos encontrar la altura que forma el cateto de 6 cm.

Para calcular la altura, utilizamos el Teorema de Pitágoras:

Hipotenusa (c) = √(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm

Ahora, podemos calcular la altura:

Altura = (6 cm * 8 cm) / 10 cm = 48 cm / 10 cm = 4.8 cm

La altura del triángulo rectángulo es de 4.8 cm.

Ejemplo 2: Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo con una hipotenusa de longitud 15 cm y uno de los catetos de longitud 9 cm. Queremos encontrar la altura que forma el cateto de 9 cm.

Primero, podemos encontrar la longitud del otro cateto usando el Teorema de Pitágoras:

Cateto (a) = √(15^2 – 9^2) = √(225 – 81) = √144 = 12 cm

Ahora, podemos calcular la altura:

Altura = (9 cm * 12 cm) / 15 cm = 108 cm / 15 cm = 7.2 cm

La altura del triángulo rectángulo es de 7.2 cm.

Hallar la altura de Triángulos No Rectángulos

 

  1. Fórmula General: Para triángulos que no son rectángulos, puedes utilizar la fórmula general para encontrar la altura. Supongamos que tienes un triángulo con una base de longitud ‘b’ y una altura de longitud ‘h’. La fórmula para calcular la altura ‘h’ es:

    Altura = (2 * Área) / b

    Donde el Área del triángulo se puede encontrar utilizando diversas fórmulas según la información que tengas sobre el triángulo. Por ejemplo, si tienes la longitud de la base y la longitud de un lado, puedes usar la fórmula del Área de Herón. Si conoces la longitud de dos lados y el ángulo entre ellos, puedes usar la fórmula del Área del Triángulo (½ * a * b * sen(C)), donde ‘a’ y ‘b’ son los lados conocidos y ‘C’ es el ángulo entre ellos.

Ejemplos prácticos de cómo hallar la Altura de Triángulos No Rectángulos

 

Ejemplos de Triángulos No Rectángulos:

Ejemplo 1: Supongamos que tenemos un triángulo con una base de longitud 10 cm y un lado de longitud 7 cm. Además, sabemos que el ángulo entre la base y el lado es de 45 grados. Queremos encontrar la altura del triángulo.

Para calcular el área del triángulo, podemos usar la fórmula:

Área = (1/2) * base * altura

Despejando la altura:

Altura = (2 * Área) / base

Área = (1/2) * 10 cm * 7 cm * sen(45°) = 35√2 cm²

Altura = (2 * 35√2 cm²) / 10 cm = 7√2 cm

La altura del triángulo es de aproximadamente 9.9 cm.

Ejemplo 2: Supongamos que tenemos un triángulo con una base de longitud 12 cm y un lado de longitud 9 cm. Conocemos el ángulo entre la base y el lado, que es de 60 grados. Queremos encontrar la altura del triángulo.

Usando la misma fórmula del área que en el ejemplo anterior:

Área = (1/2) * base * altura

Área = (1/2) * 12 cm * 9 cm * sen(60°) = 54√3 cm²

Altura = (2 * 54√3 cm²) / 12 cm = 9√3 cm

La altura del triángulo es de aproximadamente 15.59 cm.

Encontrar la altura de un triángulo es esencial para resolver una variedad de problemas geométricos y aplicaciones en la vida cotidiana. Dependiendo del tipo de triángulo que estés tratando, puedes aplicar las fórmulas mencionadas anteriormente para calcular esta medida fundamental.

¿Cómo hallar la altura de otros tipos de triángulos?

 

Triángulo equilátero

 

 

Supongamos que tenemos un triángulo equilátero con lados de longitud 6 cm. Queremos encontrar la altura de este triángulo.

  1. Dibuja el triángulo: Dibuja un triángulo equilátero con lados de 6 cm cada uno. Asegúrate de que todos los ángulos sean de 60 grados, ya que en un triángulo equilátero todos los ángulos son iguales.
  2. Encuentra el punto de intersección: En un triángulo equilátero, las alturas siempre se cruzan en un punto que es equidistante a todos los vértices. Este punto es el centro del triángulo. Llamémoslo «C».
  3. Mide la altura: Para encontrar la altura del triángulo, mide la distancia desde el vértice de uno de los ángulos hasta el punto central «C». En este caso, toma un vértice y mide la distancia perpendicular desde ese vértice hasta el punto central. Verás que esta distancia es igual para todos los vértices.

La altura de este triángulo equilátero es igual a la distancia que has medido desde el vértice hasta el punto central. En este ejemplo, si midieras esa distancia, encontrarías que es igual a 3√3 cm. Por lo tanto, la altura de este triángulo equilátero es de 3√3 cm, y esta longitud es la misma desde cualquiera de los tres vértices hasta el centro del triángulo.

 

Triángulo isosceles

 

 

Supongamos que tenemos un triángulo isósceles con lados iguales de 8 cm y un tercer lado de 10 cm. Queremos encontrar la altura de este triángulo.

  1. Dibuja el triángulo: Comienza dibujando el triángulo isósceles con lados iguales de 8 cm y un tercer lado de 10 cm. Esto formará la base del triángulo.
  2. Encuentra el punto medio: Divide el tercer lado (la base) en dos segmentos iguales. Esto creará un punto medio en la base, que llamaremos «M».
  3. Dibuja la altura: Dibuja una línea perpendicular desde el vértice opuesto al tercer lado (el vértice opuesto a la base) hasta el punto medio «M» de la base. Esta línea perpendicular es la altura del triángulo.
  4. Calcula la longitud de la altura: Para encontrar la longitud de la altura, puedes usar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma. La altura, la mitad de la base (4 cm), y la mitad del tercer lado (5 cm) forman un triángulo rectángulo.

    Usando el teorema de Pitágoras:

    Altura² + (Mitad de la base)² = (Mitad del tercer lado)² Altura² + 4² = 5² Altura² + 16 = 25 Altura² = 25 – 16 Altura² = 9 Altura = √9 Altura = 3 cm

La altura de este triángulo isósceles es de 3 cm. Esto significa que desde el vértice opuesto a la base hasta el punto medio de la base hay una distancia de 3 cm, que es la longitud de la altura.

 

Triángulo con lados diferentes

 

 

Supongamos que tenemos un triángulo con un lado de longitud 5 cm, otro lado de longitud 7 cm y el tercer lado de longitud 8 cm. Queremos encontrar la altura de este triángulo.

  1. Dibuja el triángulo: Comienza dibujando el triángulo con los lados dados. Este triángulo no es ni equilátero ni isósceles; es un triángulo escaleno, lo que significa que todos sus lados son de diferentes longitudes.
  2. Selecciona una base: En este caso, seleccionaremos el lado de longitud 8 cm como la base del triángulo.
  3. Dibuja la altura: Dibuja una línea perpendicular desde el vértice opuesto a la base hasta la base misma. Esta línea perpendicular es la altura del triángulo y la denotaremos como «h».
  4. Utiliza la fórmula del área: Utilizaremos la fórmula general del área del triángulo, que es:

    Área = (1/2) * base * altura

  5. Sustituye los valores conocidos: Sabemos que la base es de 8 cm y queremos encontrar la altura «h». El área del triángulo también puede calcularse utilizando la fórmula de Herón debido a que tenemos todas las longitudes de los lados.

    Área = √(s * (s – a) * (s – b) * (s – c))

    Donde «s» es el semiperímetro del triángulo, que se calcula como la mitad de la suma de las longitudes de los lados: s = (5 cm + 7 cm + 8 cm) / 2 = 10 cm.

    Área = √(10 cm * (10 cm – 5 cm) * (10 cm – 7 cm) * (10 cm – 8 cm)) Área = √(10 cm * 5 cm * 3 cm * 2 cm) Área = √(300 cm⁴) Área = 10√3 cm²

  6. Utiliza la fórmula del área para encontrar la altura: Ahora que conocemos el área (10√3 cm²) y la base (8 cm), podemos resolver la fórmula del área para la altura:

    Área = (1/2) * base * altura 10√3 cm² = (1/2) * 8 cm * altura

  7. Resuelve para la altura «h»:

    altura = (10√3 cm²) / (1/2 * 8 cm) altura = (10√3 cm²) / (4 cm) altura = 10√3 cm² / 4 cm altura = 2.5√3 cm

La altura de este triángulo con lados de 5 cm, 7 cm y 8 cm es de aproximadamente 2.5√3 cm.

Llegó el momento de que resuelvas estos ejercicios prácticos que pondrán en práctica tus conocimientos adquiridos en este artículo. ¡Empecemos!

Ejercicios prácticos de cómo hallar la altura de un triángulo

 

  1. Triángulo equilátero: Dado un triángulo equilátero con un lado de 6 cm de longitud, encuentra la altura desde uno de los vértices a la base.
  2. Triángulo isósceles: En un triángulo isósceles, con dos lados de 5 cm cada uno y un ángulo en la base de 60 grados, calcula la altura desde el vértice al lado opuesto.
  3. Triángulo con lados diferentes: Si tienes un triángulo con lados de longitudes 7 cm, 24 cm y 25 cm, halla la altura desde el vértice opuesto al lado de 24 cm.
  4. Triángulo equilátero inscrito: Un triángulo equilátero está inscrito en un círculo de radio 10 cm. Encuentra la altura del triángulo desde uno de los vértices al lado opuesto.
  5. Triángulo isósceles con ángulos especiales: En un triángulo isósceles con dos ángulos de 45 grados, y el lado igual tiene una longitud de 8 cm, calcula la altura desde el vértice al lado igual.
  6. Triángulo rectángulo con hipotenusa dada: Si tienes un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 10 cm y uno de los catetos de 6 cm, encuentra la altura desde el vértice del ángulo recto al cateto de 6 cm.
  7. Triángulo con ángulos agudos conocidos: En un triángulo con ángulos agudos de 30 grados y 60 grados, y un lado de 8 cm opuesto al ángulo de 60 grados, halla la altura desde el vértice al lado de 8 cm.
  8. Triángulo con dos lados y un ángulo adyacente dados: Dado un triángulo con lados de 10 cm y 15 cm, y un ángulo entre estos lados de 120 grados, calcula la altura desde el vértice opuesto al lado de 15 cm.

¡Ahora ya sabes cómo hallar la altura de un triángulo! Recuerda que para resolver estos problemas, puedes utilizar fórmulas y conceptos de trigonometría, como la ley de senos, la ley de cosenos o las relaciones trigonométricas específicas para cada tipo de triángulo. ¡Buena suerte resolviendo estos ejemplos!

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